【复数乘法法则】在数学中，复数是实数与虚数的组合，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的乘法是复数运算中的重要部分，掌握其乘法规则是学习复数的重要基础。
复数乘法的基本规则是：将两个复数分别相乘，然后合并同类项，并利用 $ i^2 = -1 $ 进行简化。具体来说，若两个复数分别为 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，则它们的乘积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
$$
由于 $ i^2 = -1 $，可以进一步化简为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
下面是复数乘法的具体步骤总结：
复数乘法法则总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将两个复数写成标准形式：$ a + bi $ 和 $ c + di $ |
| 2 | 使用分配律展开乘积：$ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 $ |
| 3 | 合并实部和虚部：实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $ |
| 4 | 写成最终结果形式：$ (ac - bd) + (ad + bc)i $ |
示例
计算 $ (2 + 3i)(4 + 5i) $：
1. 展开乘积：
$$
2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i = 8 + 10i + 12i + 15i^2
$$
2. 合并同类项：
$$
8 + 22i + 15(-1) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i
$$
因此，$ (2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i $
通过以上步骤和示例，可以看出复数乘法的本质是将两个复数按照代数规则进行展开、合并和简化，最终得到一个新的复数结果。掌握这一法则有助于后续学习复数的除法、模与幅角等更复杂的内容。
