【点到面的距离公式是什么】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理、工程等领域。了解点到面的距离公式对于解决空间几何问题具有重要意义。以下是对该公式的总结与说明。

一、点到面的距离公式

设平面上一点 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 到该平面的距离 $ d $ 的公式为：

$$

d = \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量分量；

- $ D $ 是常数项；

- 分子是点坐标代入平面方程后的绝对值；

- 分母是法向量的模长。

二、公式推导简要说明

点到平面的距离实际上是点沿平面法线方向到平面的垂直距离。因此，可以通过将点投影到法向量上，并计算其长度来得到结果。

三、公式应用举例

假设有一个平面：$ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，求点 $ (1, 2, 3) $ 到该平面的距离。

代入公式得：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

所以，点到平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

四、常见情况对比表

五、注意事项

- 公式适用于三维空间中的任意平面和点；

- 若点位于平面上，则距离为0；

- 公式中的分子使用绝对值，确保距离为非负数；

- 法向量的方向不影响最终结果，因为最后取了绝对值。

通过以上内容，我们可以清晰地理解点到面的距离公式及其应用方法。掌握这一公式有助于在实际问题中快速求解几何距离，提高计算效率。