在概率论与统计学中，泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内，某事件发生次数的概率模型。它广泛应用于各种实际问题中，如电话呼叫中心的来电次数、网站访问量、放射性物质的衰变次数等。

那么，泊松分布的分布函数是什么？ 这是许多学习概率的学生和研究者经常提出的问题。

首先，我们需要明确的是，泊松分布本身是一个概率质量函数（PMF），而不是一个连续型的分布函数。它的核心表达式为：

$$

P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

$$

其中：

- $ X $ 是一个服从泊松分布的随机变量；

- $ k $ 是非负整数（即 $ k = 0, 1, 2, ... $）；

- $ \lambda $ 是单位时间或单位面积内的平均发生次数，也称为泊松参数；

- $ e $ 是自然对数的底，约为 2.71828。

这个公式表示的是，在给定参数 $ \lambda $ 的情况下，事件恰好发生 $ k $ 次的概率。

然而，当我们提到“分布函数”时，通常指的是累积分布函数（CDF），即：

$$

F(k; \lambda) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}

$$

也就是说，泊松分布的累积分布函数是将从 0 到 $ k $ 所有可能取值的概率相加的结果，反映了事件发生次数不超过 $ k $ 的总概率。

需要注意的是，由于泊松分布是离散的，其分布函数并不是像正态分布那样连续可导，而是由多个跳跃点构成的阶梯函数。

此外，虽然泊松分布的分布函数没有简单的闭合形式表达式，但在实际计算中，可以通过数值方法或查表法来获得其值。在统计软件（如 R、Python 的 SciPy 库）中，也有现成的函数可以直接调用。

总结一下，泊松分布的分布函数，即其累积分布函数，是事件发生次数小于等于某个值 $ k $ 的概率之和。而它的概率质量函数则描述了事件恰好发生 $ k $ 次的概率。

如果你正在学习概率论，或者在实际应用中遇到相关问题，理解这些基本概念是非常重要的。希望这篇文章能帮助你更清晰地认识泊松分布及其分布函数的本质。